Historia de las Ecuaciones diferenciales

HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

"Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella" 
Carl Friedrich Gauss

Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como , la igualdad sólo se cumple para .

En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. sí, si tenemos , la solución será la función exponencial , ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.

En su origen, son ecuaciones íntimamente ligadas a la resolución de cuestiones relacionadas con la física y con la geometría: las leyes del movimiento planetario (en el que intervienen distancias, velocidades y aceleraciones; o lo que es lo mismo, leyes de posición y sus derivadas primeras y segundas en función del tiempo); problemas relacionados con el equilibrio de un cable en suspensión (catenaria); la trayectoria de caída en el menor tiempo posible entre dos puntos dados (Baquistrocona); o las leyes de difusión del calor.

La fascinación de matemáticos y físicos por este tipo de ecuaciones fue debida tanto a su utilidad práctica, como a la dificultad de encontrar soluciones analíticas en la inmensa mayoría de los casos: cada nuevo problema resoluble analíticamente descubierto, adquiría carta de naturaleza propia y notoriedad inmediata.

Con posterioridad a la fulgurante aparición hacia 1675 de las ecuaciones diferenciales de la mano primero de Leibiniz y de Newton, y a continuación de sus sucesores, la búsqueda de métodos generales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias se detuvo alrededor de 1775. Varios nuevos trabajos estaban todavía pendientes de realizarse utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias, principalmente aquellos resultantes de la solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Pero por más de cien años no volvieron a aparecer nuevos métodos tan importantes como los disponibles por entonces, hasta la introducción de los métodos operacionales y de la tranformada de Laplace al final del siglo XIX. En realidad, el interés en métodos generales de solución se redujo debido a que, de una forma u otra, los métodos de resolución disponibles resultaban suficientes para las aplicaciones planteadas por entonces. Sin embargo aún se sentía la falta de rigor, y la aparición de nuevas aplicaciones conllevó a que esta masa de técnicas dispersas se consolidara en una teoría sólida.

Las ecuaciones diferenciales tiene una importancia fundamental en las matemáticas  sobre todo en la ingeniera debido a que muchos problemas se presentan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

La variable independiente (v. i) es x

La variable dependiente (v. d) es y

Ecuaciones en derivadas parciales : aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

La variable independiente (v. i) es "x" y "y"

La variable dependiente (v. d) es V

Un tercer tipo de ecuación diferencial, usualmente no considerado en los cursos introductorios del cálculo, son las ecuaciones diferenciales estocásticas que sirven para definir ejemplos de procesos estocásticos.
Una ecuación diferencial  es una ecuación que contiene derivadas de una variable, como en la ecuación: 

Aquí x es la variable y las derivadas son con respecto a una segunda variable t. Las letras a, b, c y d se toman aquí como constantes. Esta ecuación podría describirse como una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, con coeficientes constantes. Es de segundo orden debido al orden más alto de derivadas presentes, lineal porque ninguna de las derivadas están elevadas a ninguna potencia y los factores multiplicando las derivadas son constantes. Si fuera x la posición de un objeto y t el tiempo, entonces la primera derivada es la velocidad, la segunda la aceleración, y esta podría ser una ecuación describiendo el movimiento de un objeto. Como se muestra, también se dice que esta es una ecuación no homogénea, y al resolver problemas físicos, uno debe considerar también la ecuación homogénea.